Всего: 58 1–20 | 21–40 | 41–58
Добавить в вариант
и 
Тогда углы BMA, MAD и AMB равны, поэтому треугольник ABM — равнобедренный. Следовательно, 
Периметр равен 56. Аналогично для случая 
Периметр равен 70.а) Докажите, что если каждая из диагоналей четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а плоские углы при вершине прямые.
в) Докажите, что если 
то по крайней мере один из квадратных трехчленов 
i = 1, 2, имеет действительный корень.
то точки B и D расположены на одинаковом расстоянии от прямой AC, следовательно, середина диагонали BD лежит на AC. Аналогично, середина AC лежит на BD. Таким образом, точка пересечения обеих диагоналей делит каждую из них пополам. 
лучше посмотреть, что представляет из себя проекция данной пирамиды. Возможны два случая. В первом из них проекция является треугольником — проекцией одной из граней пирамиды, во втором она — четырехугольник, диагоналями которого являются проекции некоторых двух ее скрещивающихся ребер. Ясно, что в первом случае площадь проекции наибольшая, если мы проектируем нашу пирамиду на плоскость, параллельную той ее грани, которая имеет наибольшую площадь; в нашем случае это основание пирамиды и ее площадь 
Второй случай более интересен. Площадь четырехугольника равна 
где d1, d2 — это длины его диагоналей, а 
— угол между ними. Ясно, что 
поэтому произведение всех этих величин не 
что меньше, чем 
Точки E и F делят сторону BC на три равные части. Докажите, что 
Ясно, что точки, для которых 
удовлетворяют данному уравнению. Для того, чтобы показать, что других точек нет, найдем значения тангенса каждой из частей данного уравнения. Имеем 
или 
при 
а) Докажите, что если каждая из средних линий четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.
б) Найдите наибольшую площадь тени при ортогональной проекции на плоскость правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна единице, а боковое ребро — двум.
в) Докажите, что если 
(i = 1, 2, 3), то
причем B лежит между A и E, а C лежит между E и D (если продолжения сторон пересекаются с другой стороны четырехугольника, переобозначим вершины). Пусть также M — середина AB, N — середина CD, 
По условию 
и 
тогда
отсюда
а площадь боковой грани меньше 
(поскольку апофема не больше бокового ребра).
Введем квадратные трехчлены 
Так как по условию 
и 
то 
при всех 
Значит, 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с диаметром 13 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 12. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
и 
как стороны ромба. Так как EK — диаметр, то 
и
Тогда 
находим, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
(как стороны ромба). Так как EK — диаметр, 
Тогда 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с радиусом 17 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 8. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
(как стороны ромба). Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
Биссектрисы BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке I. На продолжениях отрезков BB1 и CC1 отмечены точки B′ и C′ соответственно так, что четырехугольник AB′IC′ — параллелограмм. Докажите, что если 
то прямая B′C′ проходит через точку пересечения описанных окружностей треугольников BC1B′ и CB1C′.
и 
равна 
Отметим на отрезке 
такую точку P, что 
и 
Из этих двух равенств следует, что четырехугольники 
и 
вписанные. Теперь 
Аналогично, вписан и 
Таким образом, указанные в условии окружности пересекаются именно в точке P.
и 
Однако это означает, что и точка Q лежит на пересечении тех же серединных перпендикуляров, то есть совпадает с P. Значит, P лежит на BD.На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка P, не лежащая на диагонали AC. На луче AP взята такая точка Q, что AP = PQ. Через точку Q провели прямую, параллельную стороне AB, она пересекла сторону BC в точке R. Затем через точку Q провели прямую, параллельную стороне AD, она пересекла прямую CD в точке S. Найдите угол PRS.
В силу подобия треугольников DKP и DMN 
Таким образом, точки S, R и P лежат на одной прямой.
отрезок OP — средняя линия треугольника AQC. Поэтому отрезок OP параллелен отрезку CQ и 
Тогда четырехугольник OPNC является параллелограммом, откуда прямая PN параллельна OC. Треугольники ABD и RQC подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Следовательно, 
Таким образом, прямая RS параллельна AC, а по доказанному выше она параллельна и PN. Поскольку у прямых RS и PN есть общая точка N, они совпадают, откуда 
мы получим 
откуда 
и 
то есть AKMN — ромб. Значит, AM — биссектриса угла BAD.
Точки D и M лежат по разные стороны от прямых AB и BC. Какой из углов AMB и CMD больше?
Значит, эти треугольники равны и сторона DN параллельна стороне CM. Тогда 
Найдите угол AED.
Заметим, что
и 
треугольники AME и DMC подобны. Поскольку треугольник DMC равнобедренный, таковым будет и AME. Тогда 
Поскольку точка E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, 
(см. рис.). По теореме Фалеса искомое отношение равно 
Из подобия треугольников BEG и AED получаем 
Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD, сторону CD и прямую BC в точках E, F и G соответственно. Найдите отношение FG : FE, если 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
тогда по условию 
Поскольку KL — средняя линия в треугольнике ADN, то 
Следовательно, 
Треугольники DPN и LPM очевидно подобны с коэффициентом подобия 1,5. Обозначим 
тогда 
Кроме того, 
потому что это средняя линия. Тогда 
то 
Отсюда следует, что 
(LN — средняя линия в треугольнике CDM). Кроме того, 
Тогда 
угол 
угол 
треугольник 
Значит, и угол 
и 
Площадь треугольника ABC равна 
Площадь параллелограмма равна 25. 
поэтому 
и 
